函数sin^3(x)+cos^3(x)； x在[-Pi/4，Pi/4]上的最大值是多少？

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/21 23:49:28
一道高中数学题，高手帮帮忙，急~
不要用求导的方法。谢谢~

1.用立方和公式化为
(sinx+cosx) (sin^2(x)-sinxcosx+cos^2(x) )
2.因为sin^2(x)+cos^2(x)=1
所以上式可以化为(sinx+cosx) (1-sinxcosx )
3.令sinx+cosx=t,平方之,可得到sinxcosx=(t^2-1)/2
上式可以化为f(t)=t(1-(t^2-1)/2)

又因为x在[-Pi/4，Pi/4]所以x+Pi/4在[0,Pi/2]
所以t=sinx+cosx=sin(x+Pi/4)在[0,1]

所以f(t)=t(1-(t^2-1)/2)=1/2(-t^3+3t)
4.以下利用导数(没办法啦).
f'(t)=1/2(-3t^2+3),t在[0,1]
所以f'(t)>=0
所以f(t)在[0,1]上是增函数,t=1时,最大值为1.